本文整理 Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Second Edition 第 2 章 Four Important Linear Partial Differential Equations 。这一章是全书第 I 部分的核心入口：Evans 先不急着发展抽象弱解理论，而是选取四类最重要的线性 PDE，展示“显式公式、最大值原理、能量方法、有限传播、正则化”等基本机制。
本文采用“中译 + 数学符号保留 + 学习注释”的方式整理。公式、定理结构、主要证明想法和习题信息尽量保留；叙述部分改写为适合博客阅读的译注式学习稿，不做逐句复刻。
0. 本章地图# 第 2 章围绕四个模型方程展开：
flowchart TD
A["四类重要线性 PDE"] --> B["2.1 输运方程"]
A --> C["2.2 Laplace 方程"]
A --> D["2.3 热方程"]
A --> E["2.4 波方程"]
B --> B1["沿特征线保持或累积"]
C --> C1["调和函数、平均值、Green 函数"]
D --> D1["热核、平滑、最大值原理"]
E --> E1["球面平均、有限传播、能量守恒"]
C1 --> F["2.5 习题"]
D1 --> F
E1 --> F
从学习路线看，本章有两条主线：
表示公式 ：能写出显式解时，先写出解，并从公式读出性质。定性方法 ：当显式公式不够用时，用最大值原理、能量法、Green 函数和积分恒等式控制解。 四类方程的行为差别很大：
方程 典型形式 主要机制 典型结论 输运方程 u t + b ⋅ D u = f u_t+b\cdot Du=f u t + b ⋅ D u = f 沿直线特征传播 数据被搬运，非齐次项沿特征累积 Laplace 方程 Δ u = 0 \Delta u=0 Δ u = 0 − Δ u = f -\Delta u=f − Δ u = f 平衡态、平均值性质 最大值原理、解析性、Green 表示 热方程 u t − Δ u = f u_t-\Delta u=f u t − Δ u = f 扩散与平滑 无限传播、瞬时光滑、抛物型最大值原理 波方程 u t t − Δ u = f u_{tt}-\Delta u=f u tt − Δ u = f 振动与有限传播 光锥、Huygens 原理、能量守恒
学习注释
这一章最重要的不是背公式，而是辨认机制：Laplace 方程和热方程都有最大值原理，但热方程带有时间方向；热方程和波方程都有时间变量，但热方程会平滑，波方程通常不会；输运方程和波方程都体现传播，但输运沿特征线，波方程沿光锥。
0.1 记号与阅读约定# 本章频繁使用以下记号：
记号 含义 B ( x , r ) B(x,r) B ( x , r ) 以 x x x r r r ∂ B ( x , r ) \partial B(x,r) ∂ B ( x , r ) 对应球面，d S dS d S α ( n ) \alpha(n) α ( n ) R n \mathbb{R}^n R n ∣ ∂ B ( 0 , 1 ) ∣ = n α ( n ) \lvert\partial B(0,1)\rvert=n\alpha(n) ∣ ∂ B ( 0 , 1 )∣ = n α ( n ) 1 ∣ E ∣ ∫ E v \dfrac{1}{\lvert E\rvert}\int_E v ∣ E ∣ 1 ∫ E v 集合 E E E D u D u D u D 2 u D^2u D 2 u 对空间变量 x x x V ⋐ U V\Subset U V ⋐ U V ‾ \overline V V U U U V V V U U U C 1 2 C_1^2 C 1 2 空间二阶、时间一阶连续可微的抛物型正则性
阅读时要区分三层结论：第一层是显式公式本身；第二层是公式推出的唯一性、最大值原理、正则性、传播速度等定性性质；第三层是证明这些性质的方法。Evans 这一章的真正目的，是让读者在进入 Sobolev 空间和弱解理论之前，先看清楚四类原型方程各自的数学机制。
2.1 Transport Equation# 输运方程描述某个量沿给定速度场移动。第 2.1 节考虑最简单的常速度情形：
u t + b ⋅ D u = 0 , u_t+b\cdot Du=0, u t + b ⋅ D u = 0 , 其中 b ∈ R n b\in \mathbb{R}^n b ∈ R n u = u ( x , t ) u=u(x,t) u = u ( x , t ) x ∈ R n x\in\mathbb{R}^n x ∈ R n t ≥ 0 t\ge 0 t ≥ 0
直观上，u u u b b b b b b u u u
严格说，下面的经典公式需要 g , f g,f g , f
2.1.1 Initial-value problem# 初值问题为
{ u t + b ⋅ D u = 0 in R n × ( 0 , ∞ ) , u = g on R n × { t = 0 } . \begin{cases}
u_t+b\cdot Du=0 & \text{in }\mathbb{R}^n\times (0,\infty),\\
u=g & \text{on }\mathbb{R}^n\times\{t=0\}.
\end{cases} { u t + b ⋅ D u = 0 u = g in R n × ( 0 , ∞ ) , on R n × { t = 0 } . 关键想法是考察穿过点 ( x , t ) (x,t) ( x , t )
z ( s ) = x + ( s − t ) b , 0 ≤ s ≤ t . z(s)=x+(s-t)b,\qquad 0\le s\le t. z ( s ) = x + ( s − t ) b , 0 ≤ s ≤ t . 则 z ( t ) = x z(t)=x z ( t ) = x z ( 0 ) = x − t b z(0)=x-tb z ( 0 ) = x − t b
v ( s ) = u ( z ( s ) , s ) . v(s)=u(z(s),s). v ( s ) = u ( z ( s ) , s ) . 由链式法则，
v ˙ ( s ) = D u ( z ( s ) , s ) ⋅ z ˙ ( s ) + u t ( z ( s ) , s ) = b ⋅ D u ( z ( s ) , s ) + u t ( z ( s ) , s ) = 0. \dot v(s)
=Du(z(s),s)\cdot \dot z(s)+u_t(z(s),s)
=b\cdot Du(z(s),s)+u_t(z(s),s)=0. v ˙ ( s ) = D u ( z ( s ) , s ) ⋅ z ˙ ( s ) + u t ( z ( s ) , s ) = b ⋅ D u ( z ( s ) , s ) + u t ( z ( s ) , s ) = 0. 所以 v v v
u ( x , t ) = g ( x − t b ) . u(x,t)=g(x-tb). u ( x , t ) = g ( x − t b ) . 这就是齐次输运方程的解公式。
学习注释
输运方程是学习“特征线方法”的最干净例子。PDE 中的方向导数
u t + b ⋅ D u u_t+b\cdot Du u t + b ⋅ D u ( z ( s ) , s ) (z(s),s) ( z ( s ) , s ) v ˙ ( s ) = 0 \dot v(s)=0 v ˙ ( s ) = 0
2.1.2 Nonhomogeneous problem# 非齐次问题为
{ u t + b ⋅ D u = f in R n × ( 0 , ∞ ) , u = g on R n × { t = 0 } . \begin{cases}
u_t+b\cdot Du=f & \text{in }\mathbb{R}^n\times (0,\infty),\\
u=g & \text{on }\mathbb{R}^n\times\{t=0\}.
\end{cases} { u t + b ⋅ D u = f u = g in R n × ( 0 , ∞ ) , on R n × { t = 0 } . 仍沿同一条特征线计算：
v ˙ ( s ) = f ( z ( s ) , s ) . \dot v(s)=f(z(s),s). v ˙ ( s ) = f ( z ( s ) , s ) . 积分得到
u ( x , t ) = g ( x − t b ) + ∫ 0 t f ( x + ( s − t ) b , s ) d s . u(x,t)=g(x-tb)+\int_0^t f(x+(s-t)b,s)\,ds. u ( x , t ) = g ( x − t b ) + ∫ 0 t f ( x + ( s − t ) b , s ) d s . 其中第一项是初值沿特征搬运，第二项是源项 f f f
若方程带有零阶项，例如更一般的
u t + b ⋅ D u + c u = f , u_t+b\cdot Du+cu=f, u t + b ⋅ D u + c u = f , 沿特征得到的是一阶线性 ODE：
v ˙ ( s ) + c ( z ( s ) , s ) v ( s ) = f ( z ( s ) , s ) . \dot v(s)+c(z(s),s)v(s)=f(z(s),s). v ˙ ( s ) + c ( z ( s ) , s ) v ( s ) = f ( z ( s ) , s ) . 于是解会带上积分因子：
u ( x , t ) = exp ( − ∫ 0 t c ( z ( τ ) , τ ) d τ ) g ( x − t b ) + ∫ 0 t exp ( − ∫ s t c ( z ( τ ) , τ ) d τ ) f ( z ( s ) , s ) d s . \begin{aligned}
u(x,t)
&=\exp\left(-\int_0^t c(z(\tau),\tau)\,d\tau\right)g(x-tb)\\
&\quad+\int_0^t
\exp\left(-\int_s^t c(z(\tau),\tau)\,d\tau\right)
f(z(s),s)\,ds .
\end{aligned} u ( x , t ) = exp ( − ∫ 0 t c ( z ( τ ) , τ ) d τ ) g ( x − t b ) + ∫ 0 t exp ( − ∫ s t c ( z ( τ ) , τ ) d τ ) f ( z ( s ) , s ) d s . 这说明零阶项不会改变特征线本身，但会改变沿特征线传输的权重。这一点在后续一阶 PDE 和 Hamilton-Jacobi 方程中会反复出现。
本节要点
输运方程的核心是“沿特征线降维”。齐次项给出保持不变，非齐次项给出积分累积，零阶项给出指数权重。
2.2 Laplace’s Equation# Laplace 方程是
Δ u = 0 , \Delta u=0, Δ u = 0 , 其中
Δ u = ∑ i = 1 n u x i x i . \Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}. Δ u = i = 1 ∑ n u x i x i . 满足 Δ u = 0 \Delta u=0 Δ u = 0 调和函数 。Poisson 方程则写成
− Δ u = f . -\Delta u=f. − Δ u = f . Laplace 方程描述没有源项时的平衡态；Poisson 方程描述有源项时的静态响应。本节围绕五个主题展开：基本解、平均值公式、调和函数性质、Green 函数、能量方法。
2.2.1 Fundamental solution# 为了构造 − Δ u = f -\Delta u=f − Δ u = f
− Δ Φ = δ 0 -\Delta \Phi=\delta_0 − ΔΦ = δ 0 的函数，其中 δ 0 \delta_0 δ 0 x ≠ 0 x\ne 0 x = 0
Δ Φ ( x ) = 0. \Delta \Phi(x)=0. ΔΦ ( x ) = 0. 在 R n \mathbb{R}^n R n
Φ ( x ) = { − 1 2 π log ∣ x ∣ , n = 2 , 1 n ( n − 2 ) α ( n ) 1 ∣ x ∣ n − 2 , n ≥ 3 , \Phi(x)=
\begin{cases}
-\dfrac{1}{2\pi}\log |x|, & n=2,\\[6pt]
\dfrac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\dfrac{1}{|x|^{n-2}}, & n\ge 3,
\end{cases} Φ ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ − 2 π 1 log ∣ x ∣ , n ( n − 2 ) α ( n ) 1 ∣ x ∣ n − 2 1 , n = 2 , n ≥ 3 , 其中 α ( n ) \alpha(n) α ( n ) R n \mathbb{R}^n R n
这个常数不是任意归一化。由于 ∣ ∂ B ( 0 , r ) ∣ = n α ( n ) r n − 1 |\partial B(0,r)|=n\alpha(n)r^{n-1} ∣ ∂ B ( 0 , r ) ∣ = n α ( n ) r n − 1 n ≥ 3 n\ge 3 n ≥ 3
− ∫ ∂ B ( 0 , r ) ∂ Φ ∂ ν d S = 1 , -\int_{\partial B(0,r)}\frac{\partial \Phi}{\partial \nu}\,dS=1, − ∫ ∂ B ( 0 , r ) ∂ ν ∂ Φ d S = 1 , 这对应 − Δ Φ -\Delta\Phi − ΔΦ
基本解有奇性。对 x ≠ 0 x\ne 0 x = 0
∣ D Φ ( x ) ∣ ≤ C ∣ x ∣ n − 1 , ∣ D 2 Φ ( x ) ∣ ≤ C ∣ x ∣ n . |D\Phi(x)|\le \frac{C}{|x|^{n-1}},
\qquad
|D^2\Phi(x)|\le \frac{C}{|x|^n}. ∣ D Φ ( x ) ∣ ≤ ∣ x ∣ n − 1 C , ∣ D 2 Φ ( x ) ∣ ≤ ∣ x ∣ n C . 若 f ∈ C c 2 ( R n ) f\in C_c^2(\mathbb{R}^n) f ∈ C c 2 ( R n )
u ( x ) = ∫ R n Φ ( x − y ) f ( y ) d y . u(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy. u ( x ) = ∫ R n Φ ( x − y ) f ( y ) d y . 则
− Δ u = f in R n . -\Delta u=f\quad \text{in }\mathbb{R}^n. − Δ u = f in R n . 这里最值得注意的是：不能天真地把 Δ \Delta Δ x ≠ y x\ne y x = y Φ \Phi Φ x = y x=y x = y
这里的 C c 2 C_c^2 C c 2
学习注释
基本解的意义是把微分方程转成卷积公式：
u = Φ ∗ f . u=\Phi*f. u = Φ ∗ f . 这和常微分方程中用 Green 函数或冲激响应求解线性系统的思想一致。之后遇到热方程和波方程时，也会看到对应的基本解或传播核。
调和函数最重要的性质之一是平均值公式。若 u u u U U U
B ( x , r ) ‾ ⊂ U , \overline{B(x,r)}\subset U, B ( x , r ) ⊂ U , 则
u ( x ) = 1 ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ ∫ ∂ B ( x , r ) u d S u(x)=\frac{1}{|\partial B(x,r)|}\int_{\partial B(x,r)}u\,dS u ( x ) = ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , r ) u d S 并且
u ( x ) = 1 ∣ B ( x , r ) ∣ ∫ B ( x , r ) u ( y ) d y . u(x)=\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}u(y)\,dy. u ( x ) = ∣ B ( x , r ) ∣ 1 ∫ B ( x , r ) u ( y ) d y . 第一条是球面平均值公式，第二条是球平均值公式。球平均公式可由球面平均公式对半径积分得到。
反过来，若连续函数满足局部平均值性质，则它是调和的。这给出调和函数的一个等价刻画。
平均值公式还有一个重要变体：若 Δ u ≥ 0 \Delta u\ge 0 Δ u ≥ 0 u u u
u ( x ) ≤ 1 ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ ∫ ∂ B ( x , r ) u d S . u(x)\le \frac{1}{|\partial B(x,r)|}\int_{\partial B(x,r)}u\,dS. u ( x ) ≤ ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , r ) u d S . 若 Δ u ≤ 0 \Delta u\le 0 Δ u ≤ 0
平均值公式的证明核心是：令
ϕ ( r ) = 1 ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ ∫ ∂ B ( x , r ) u d S . \phi(r)=\frac{1}{|\partial B(x,r)|}\int_{\partial B(x,r)}u\,dS. ϕ ( r ) = ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , r ) u d S . 通过换元到单位球面并求导，可得
ϕ ′ ( r ) = r n 1 ∣ B ( x , r ) ∣ ∫ B ( x , r ) Δ u d y . \phi'(r)=\frac{r}{n}\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}\Delta u\,dy. ϕ ′ ( r ) = n r ∣ B ( x , r ) ∣ 1 ∫ B ( x , r ) Δ u d y . 若 Δ u = 0 \Delta u=0 Δ u = 0 ϕ ′ ( r ) = 0 \phi'(r)=0 ϕ ′ ( r ) = 0 r r r r → 0 r\to 0 r → 0 ϕ ( r ) = u ( x ) \phi(r)=u(x) ϕ ( r ) = u ( x )
学习注释
平均值性质说明调和函数不能在内部“单独抬高”或“单独压低”。一个点的值已经被周围任意小球面上的值完全决定。这是最大值原理、Harnack 不等式和解析性的基础。
2.2.3 Properties of harmonic functions# 本小节从平均值公式出发，推出调和函数的一系列强性质。
Maximum principle# 若 u ∈ C 2 ( U ) ∩ C ( U ‾ ) u\in C^2(U)\cap C(\overline U) u ∈ C 2 ( U ) ∩ C ( U ) U U U
Δ u = 0 in U , \Delta u=0\quad \text{in }U, Δ u = 0 in U , 则
max U ‾ u = max ∂ U u . \max_{\overline U}u=\max_{\partial U}u. U max u = ∂ U max u . 强最大值原理进一步说：若调和函数在内部点达到最大值，则 u u u
同理也有最小值原理。对 Poisson 或 Dirichlet 问题，最大值原理立即给出唯一性。例如若
{ − Δ u = f in U , u = g on ∂ U , \begin{cases}
-\Delta u=f & \text{in }U,\\
u=g & \text{on }\partial U,
\end{cases} { − Δ u = f u = g in U , on ∂ U , 存在两个解 u , u ~ u,\tilde u u , u ~ w = u − u ~ w=u-\tilde u w = u − u ~
Δ w = 0 , w = 0 on ∂ U . \Delta w=0,\qquad w=0\text{ on }\partial U. Δ w = 0 , w = 0 on ∂ U . 最大值和最小值原理给出 w ≡ 0 w\equiv 0 w ≡ 0
Smoothness# 调和函数具有强正则性。若 u u u
u ∈ C ∞ ( U ) . u\in C^\infty(U). u ∈ C ∞ ( U ) . 证明思路是用 mollifier。平均值性质允许把 u u u
这一点很反直觉：定义上只要求二阶可微或甚至只要求连续加平均值性质，但结论自动给出无限可微。
Derivative estimates# 若 u u u B ( x 0 , r ) B(x_0,r) B ( x 0 , r ) α \alpha α ∣ α ∣ = k |\alpha|=k ∣ α ∣ = k
∣ D α u ( x 0 ) ∣ ≤ C k r n + k ∥ u ∥ L 1 ( B ( x 0 , r ) ) . |D^\alpha u(x_0)|
\le
\frac{C_k}{r^{n+k}}\|u\|_{L^1(B(x_0,r))}. ∣ D α u ( x 0 ) ∣ ≤ r n + k C k ∥ u ∥ L 1 ( B ( x 0 , r )) . 这类估计说明：调和函数内部的高阶导数由低阶积分量控制，而且距离边界越远，控制越好。
Liouville theorem# 若 u u u R n \mathbb{R}^n R n u u u
证明很短：对任意方向导数 D i u D_i u D i u r → ∞ r\to\infty r → ∞
D i u = 0. D_i u=0. D i u = 0. 所以 u u u
一个相关结论是：若 u u u R n \mathbb{R}^n R n
− Δ u = f , -\Delta u=f, − Δ u = f , 在适当条件下可表示为
u ( x ) = ∫ R n Φ ( x − y ) f ( y ) d y + C . u(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy+C. u ( x ) = ∫ R n Φ ( x − y ) f ( y ) d y + C . Analyticity# 调和函数不仅 C ∞ C^\infty C ∞ u u u
学习时可把逻辑链条记为：
Δ u = 0 ⟹ mean-value formula ⟹ derivative estimates ⟹ analyticity . \Delta u=0
\Longrightarrow
\text{mean-value formula}
\Longrightarrow
\text{derivative estimates}
\Longrightarrow
\text{analyticity}. Δ u = 0 ⟹ mean-value formula ⟹ derivative estimates ⟹ analyticity . Harnack inequality# 若 u ≥ 0 u\ge 0 u ≥ 0 U U U
V ⋐ U , V\Subset U, V ⋐ U , 则存在常数 C C C V V V U U U
sup V u ≤ C inf V u . \sup_V u\le C\inf_V u. V sup u ≤ C V inf u . Harnack 不等式控制非负调和函数的振荡。它说明非负调和函数不能在内部某处非常大而在邻近区域非常小。
学习注释
最大值原理控制边界与内部，Harnack 不等式控制内部不同点之间的相对大小。后续椭圆型 PDE 理论中，Harnack 不等式是通向 Hölder 正则性和紧性的关键工具。
2.2.4 Green’s function# 基本解 Φ \Phi Φ
设 U ⊂ R n U\subset\mathbb{R}^n U ⊂ R n x ∈ U x\in U x ∈ U ϕ x \phi^x ϕ x
{ Δ ϕ x = 0 in U , ϕ x ( y ) = Φ ( y − x ) on ∂ U . \begin{cases}
\Delta \phi^x=0 & \text{in }U,\\
\phi^x(y)=\Phi(y-x) & \text{on }\partial U.
\end{cases} { Δ ϕ x = 0 ϕ x ( y ) = Φ ( y − x ) in U , on ∂ U . 定义
G ( x , y ) = Φ ( y − x ) − ϕ x ( y ) . G(x,y)=\Phi(y-x)-\phi^x(y). G ( x , y ) = Φ ( y − x ) − ϕ x ( y ) . 则形式上有
{ − Δ y G ( x , y ) = δ x in U , G ( x , y ) = 0 on ∂ U . \begin{cases}
-\Delta_y G(x,y)=\delta_x & \text{in }U,\\
G(x,y)=0 & \text{on }\partial U.
\end{cases} { − Δ y G ( x , y ) = δ x G ( x , y ) = 0 in U , on ∂ U . 若 u u u
{ − Δ u = f in U , u = g on ∂ U , \begin{cases}
-\Delta u=f & \text{in }U,\\
u=g & \text{on }\partial U,
\end{cases} { − Δ u = f u = g in U , on ∂ U , 则 Green 表示公式为
u ( x ) = − ∫ ∂ U g ( y ) ∂ G ∂ ν ( x , y ) d S ( y ) + ∫ U f ( y ) G ( x , y ) d y . u(x)
=-\int_{\partial U}g(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)\,dS(y)
+\int_U f(y)G(x,y)\,dy. u ( x ) = − ∫ ∂ U g ( y ) ∂ ν ∂ G ( x , y ) d S ( y ) + ∫ U f ( y ) G ( x , y ) d y . 这里 ν \nu ν
因此 Dirichlet 问题的 Poisson 核应记为
K ( x , y ) = − ∂ G ∂ ν y ( x , y ) , y ∈ ∂ U . K(x,y)=-\frac{\partial G}{\partial \nu_y}(x,y),\qquad y\in\partial U. K ( x , y ) = − ∂ ν y ∂ G ( x , y ) , y ∈ ∂ U . 在良好区域中 K ( x , y ) ≥ 0 K(x,y)\ge 0 K ( x , y ) ≥ 0 ∫ ∂ U K ( x , y ) g ( y ) d S ( y ) \int_{\partial U}K(x,y)g(y)\,dS(y) ∫ ∂ U K ( x , y ) g ( y ) d S ( y ) y y y
Green 函数还具有对称性：
G ( x , y ) = G ( y , x ) . G(x,y)=G(y,x). G ( x , y ) = G ( y , x ) . Half-space# 在上半空间
R + n = { x = ( x 1 , … , x n ) : x n > 0 } , \mathbb{R}^n_+=\{x=(x_1,\dots,x_n):x_n>0\}, R + n = { x = ( x 1 , … , x n ) : x n > 0 } , 可用反射构造 Green 函数。记
x ~ = ( x 1 , … , x n − 1 , − x n ) , \tilde x=(x_1,\dots,x_{n-1},-x_n), x ~ = ( x 1 , … , x n − 1 , − x n ) , 则
G ( x , y ) = Φ ( y − x ) − Φ ( y − x ~ ) . G(x,y)=\Phi(y-x)-\Phi(y-\tilde x). G ( x , y ) = Φ ( y − x ) − Φ ( y − x ~ ) . 对应的 Poisson 核为
K ( x , y ) = 2 x n n α ( n ) ∣ x − y ∣ n , y ∈ ∂ R + n . K(x,y)=\frac{2x_n}{n\alpha(n)|x-y|^n},
\qquad y\in \partial\mathbb{R}^n_+. K ( x , y ) = n α ( n ) ∣ x − y ∣ n 2 x n , y ∈ ∂ R + n . 于是半空间 Dirichlet 问题的调和延拓写成
u ( x ) = ∫ ∂ R + n K ( x , y ) g ( y ) d S ( y ) . u(x)=\int_{\partial\mathbb{R}^n_+}K(x,y)g(y)\,dS(y). u ( x ) = ∫ ∂ R + n K ( x , y ) g ( y ) d S ( y ) . Ball# 对球 B ( 0 , r ) B(0,r) B ( 0 , r )
x ~ = x ∣ x ∣ 2 , \tilde x=\frac{x}{|x|^2}, x ~ = ∣ x ∣ 2 x , 则反演点 x ~ \tilde x x ~ r r r
K ( x , y ) = r 2 − ∣ x ∣ 2 n α ( n ) r ∣ x − y ∣ n , y ∈ ∂ B ( 0 , r ) . K(x,y)=\frac{r^2-|x|^2}{n\alpha(n)r|x-y|^n},
\qquad y\in \partial B(0,r). K ( x , y ) = n α ( n ) r ∣ x − y ∣ n r 2 − ∣ x ∣ 2 , y ∈ ∂ B ( 0 , r ) . 因此
u ( x ) = ∫ ∂ B ( 0 , r ) K ( x , y ) g ( y ) d S ( y ) . u(x)=\int_{\partial B(0,r)}K(x,y)g(y)\,dS(y). u ( x ) = ∫ ∂ B ( 0 , r ) K ( x , y ) g ( y ) d S ( y ) . 这就是球内 Dirichlet 问题的 Poisson 公式。
学习注释
Green 函数把“PDE + 边界条件”合成一个核。基本解处理内部奇点，修正项处理边界条件。半空间用镜像法，球用反演法，这两个例子应重点掌握。
2.2.5 Energy methods# 能量方法给出 Dirichlet 问题的变分解释。考虑
{ − Δ u = f in U , u = g on ∂ U . \begin{cases}
-\Delta u=f & \text{in }U,\\
u=g & \text{on }\partial U.
\end{cases} { − Δ u = f u = g in U , on ∂ U . 定义能量泛函
I [ w ] = ∫ U ( 1 2 ∣ D w ∣ 2 − w f ) d x , I[w]=\int_U\left(\frac12 |Dw|^2-wf\right)\,dx, I [ w ] = ∫ U ( 2 1 ∣ D w ∣ 2 − w f ) d x , 并考虑满足边界条件的函数类
A = { w ∈ C 2 ( U ‾ ) : w = g on ∂ U } . \mathcal{A}=\{w\in C^2(\overline U):w=g\text{ on }\partial U\}. A = { w ∈ C 2 ( U ) : w = g on ∂ U } . 结论是：u u u u u u A \mathcal{A} A I I I
更准确地说，变分时只允许在同一边界值类中移动：若 v − u v-u v − u v v v v − u ∈ H 0 1 ( U ) v-u\in H_0^1(U) v − u ∈ H 0 1 ( U )
方向之一很直观。若 u u u v ∈ A v\in\mathcal{A} v ∈ A w = v − u w=v-u w = v − u w = 0 w=0 w = 0
I [ v ] − I [ u ] = 1 2 ∫ U ∣ D w ∣ 2 d x + ∫ U D u ⋅ D w d x − ∫ U f w d x . I[v]-I[u]
=\frac12\int_U |Dw|^2\,dx
+\int_U Du\cdot Dw\,dx-\int_U fw\,dx. I [ v ] − I [ u ] = 2 1 ∫ U ∣ D w ∣ 2 d x + ∫ U D u ⋅ D w d x − ∫ U f w d x . 利用分部积分和 − Δ u = f -\Delta u=f − Δ u = f
I [ v ] − I [ u ] = 1 2 ∫ U ∣ D w ∣ 2 d x ≥ 0. I[v]-I[u]=\frac12\int_U |Dw|^2\,dx\ge 0. I [ v ] − I [ u ] = 2 1 ∫ U ∣ D w ∣ 2 d x ≥ 0. 反过来，若 u u u w w w
i ( τ ) = I [ u + τ w ] , i(\tau)=I[u+\tau w], i ( τ ) = I [ u + τ w ] , 极小性给出 i ′ ( 0 ) = 0 i'(0)=0 i ′ ( 0 ) = 0
∫ U D u ⋅ D w d x = ∫ U f w d x . \int_U Du\cdot Dw\,dx=\int_U fw\,dx. ∫ U D u ⋅ D w d x = ∫ U f w d x . 分部积分后得到 − Δ u = f -\Delta u=f − Δ u = f
学习注释
这一节是后续弱解理论的预告。能量泛函自然生活在 H 1 H^1 H 1 C 2 C^2 C 2
2.3 Heat Equation# 热方程为
u t − Δ u = 0. u_t-\Delta u=0. u t − Δ u = 0. 它描述扩散过程。和 Laplace 方程相比，热方程多了时间方向；和波方程相比，它不是可逆传播，而是带有平滑和耗散的演化。
非齐次热方程写作
u t − Δ u = f . u_t-\Delta u=f. u t − Δ u = f . 2.3.1 Fundamental solution# 热方程的基本解是热核：
Φ ( x , t ) = { 1 ( 4 π t ) n / 2 exp ( − ∣ x ∣ 2 4 t ) , t > 0 , 0 , t < 0. \Phi(x,t)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\exp\left(-\dfrac{|x|^2}{4t}\right), & t>0,\\[8pt]
0, & t<0.
\end{cases} Φ ( x , t ) = ⎩ ⎨ ⎧ ( 4 π t ) n /2 1 exp ( − 4 t ∣ x ∣ 2 ) , 0 , t > 0 , t < 0. 它满足
∫ R n Φ ( x , t ) d x = 1 , t > 0. \int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x,t)\,dx=1,\qquad t>0. ∫ R n Φ ( x , t ) d x = 1 , t > 0. 同时它具有抛物型缩放与半群性质：
Φ ( λ x , λ 2 t ) = λ − n Φ ( x , t ) , Φ ( ⋅ , t ) ∗ Φ ( ⋅ , s ) = Φ ( ⋅ , t + s ) . \Phi(\lambda x,\lambda^2 t)=\lambda^{-n}\Phi(x,t),
\qquad
\Phi(\cdot,t)*\Phi(\cdot,s)=\Phi(\cdot,t+s). Φ ( λ x , λ 2 t ) = λ − n Φ ( x , t ) , Φ ( ⋅ , t ) ∗ Φ ( ⋅ , s ) = Φ ( ⋅ , t + s ) . 第一条解释了为什么热方程中时间尺度相当于空间尺度的平方；第二条说明先扩散 s s s t t t t + s t+s t + s
对初值问题
{ u t − Δ u = 0 in R n × ( 0 , ∞ ) , u = g on R n × { t = 0 } , \begin{cases}
u_t-\Delta u=0 & \text{in }\mathbb{R}^n\times (0,\infty),\\
u=g & \text{on }\mathbb{R}^n\times\{t=0\},
\end{cases} { u t − Δ u = 0 u = g in R n × ( 0 , ∞ ) , on R n × { t = 0 } , 解公式为
u ( x , t ) = ∫ R n Φ ( x − y , t ) g ( y ) d y . u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t)g(y)\,dy. u ( x , t ) = ∫ R n Φ ( x − y , t ) g ( y ) d y . 也就是
u ( ⋅ , t ) = Φ ( ⋅ , t ) ∗ g . u(\cdot,t)=\Phi(\cdot,t)*g. u ( ⋅ , t ) = Φ ( ⋅ , t ) ∗ g . 若 g g g u u u t > 0 t>0 t > 0 t → 0 + t\to 0^+ t → 0 +
lim ( x , t ) → ( x 0 , 0 ) t > 0 u ( x , t ) = g ( x 0 ) . \lim_{\substack{(x,t)\to (x^0,0)\\ t>0}}u(x,t)=g(x^0). ( x , t ) → ( x 0 , 0 ) t > 0 lim u ( x , t ) = g ( x 0 ) . 非齐次零初值问题
{ u t − Δ u = f in R n × ( 0 , ∞ ) , u = 0 on R n × { t = 0 } \begin{cases}
u_t-\Delta u=f & \text{in }\mathbb{R}^n\times (0,\infty),\\
u=0 & \text{on }\mathbb{R}^n\times\{t=0\}
\end{cases} { u t − Δ u = f u = 0 in R n × ( 0 , ∞ ) , on R n × { t = 0 } 可由 Duhamel 原理得到
u ( x , t ) = ∫ 0 t ∫ R n Φ ( x − y , t − s ) f ( y , s ) d y d s . u(x,t)=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t-s)f(y,s)\,dy\,ds. u ( x , t ) = ∫ 0 t ∫ R n Φ ( x − y , t − s ) f ( y , s ) d y d s . 带初值和源项的一般公式为
u ( x , t ) = ∫ R n Φ ( x − y , t ) g ( y ) d y + ∫ 0 t ∫ R n Φ ( x − y , t − s ) f ( y , s ) d y d s . u(x,t)
=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t)g(y)\,dy
+\int_0^t\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t-s)f(y,s)\,dy\,ds. u ( x , t ) = ∫ R n Φ ( x − y , t ) g ( y ) d y + ∫ 0 t ∫ R n Φ ( x − y , t − s ) f ( y , s ) d y d s . 这里 t − s t-s t − s s s s t t t 0 ≤ s ≤ t 0\le s\le t 0 ≤ s ≤ t Φ ( x , t ) = 0 \Phi(x,t)=0 Φ ( x , t ) = 0 t < 0 t<0 t < 0
学习注释
热核是一个随时间变宽的 Gaussian。它的总质量为 1 1 1 t > 0 t>0 t > 0
热方程也有平均值公式，但几何对象不再是球，而是 heat ball 。定义
E ( x , t ; r ) = { ( y , s ) : s ≤ t , Φ ( x − y , t − s ) ≥ 1 r n } . E(x,t;r)=
\left\{(y,s):s\le t,\ \Phi(x-y,t-s)\ge \frac{1}{r^n}\right\}. E ( x , t ; r ) = { ( y , s ) : s ≤ t , Φ ( x − y , t − s ) ≥ r n 1 } . 如果 u t − Δ u = 0 u_t-\Delta u=0 u t − Δ u = 0
u ( x , t ) = 1 4 r n ∬ E ( x , t ; r ) u ( y , s ) ∣ x − y ∣ 2 ( t − s ) 2 d y d s . u(x,t)=
\frac{1}{4r^n}
\iint_{E(x,t;r)}
u(y,s)\frac{|x-y|^2}{(t-s)^2}\,dy\,ds. u ( x , t ) = 4 r n 1 ∬ E ( x , t ; r ) u ( y , s ) ( t − s ) 2 ∣ x − y ∣ 2 d y d s . 这说明热方程的平均值不是对普通欧氏球平均，而是对依赖热核水平集的时空区域平均，并带有权重
∣ x − y ∣ 2 ( t − s ) 2 . \frac{|x-y|^2}{(t-s)^2}. ( t − s ) 2 ∣ x − y ∣ 2 .
学习注释
heat ball 的形状体现抛物型缩放：
x ∼ r , t ∼ r 2 . x\sim r,\qquad t\sim r^2. x ∼ r , t ∼ r 2 . 后续抛物型 PDE 中，所有局部估计都会尊重这种缩放。
2.3.3 Properties of solutions# 本小节讨论热方程解的最大值原理、唯一性、光滑性和导数估计。
Parabolic boundary# 设
U T = U × ( 0 , T ] , U_T=U\times(0,T], U T = U × ( 0 , T ] , 其抛物边界定义为
Γ T = U T ‾ − U T . \Gamma_T=\overline{U_T}-U_T. Γ T = U T − U T . 这包括空间边界 ∂ U × [ 0 , T ] \partial U\times[0,T] ∂ U × [ 0 , T ] U × { 0 } U\times\{0\} U × { 0 } U × { T } U\times\{T\} U × { T }
这是因为热方程向未来演化，初值和侧边界决定内部，不能从最终时刻反向稳定决定过去。
Maximum principle# 若
u t − Δ u = 0 in U T , u_t-\Delta u=0\quad \text{in }U_T, u t − Δ u = 0 in U T , 并且 u ∈ C 1 2 ( U T ) ∩ C ( U T ‾ ) u\in C_1^2(U_T)\cap C(\overline{U_T}) u ∈ C 1 2 ( U T ) ∩ C ( U T )
max U T ‾ u = max Γ T u . \max_{\overline{U_T}}u=\max_{\Gamma_T}u. U T max u = Γ T max u . 强最大值原理说：若 u u u ( x 0 , t 0 ) ∈ U T (x_0,t_0)\in U_T ( x 0 , t 0 ) ∈ U T u u u U ‾ t 0 \overline U_{t_0} U t 0
由最大值原理可得有界区域中初边值问题的唯一性。若两个解有相同的 f f f
Cauchy uniqueness and growth condition# 在全空间 Cauchy 问题中，唯一性需要增长条件。典型条件是
∣ u ( x , t ) ∣ ≤ A e a ∣ x ∣ 2 . |u(x,t)|\le A e^{a|x|^2}. ∣ u ( x , t ) ∣ ≤ A e a ∣ x ∣ 2 . 这里通常是在每个有限时间区间 R n × [ 0 , T ] \mathbb{R}^n\times[0,T] R n × [ 0 , T ]
Smoothness# 热方程具有瞬时平滑效果。即使初值不光滑，只要 t > 0 t>0 t > 0
若 u t − Δ u = 0 u_t-\Delta u=0 u t − Δ u = 0
u ∈ C ∞ . u\in C^\infty. u ∈ C ∞ . 这和波方程形成鲜明对比：波方程一般不会自动平滑初值。
Derivative estimates# 令
C ( x , t ; r ) = B ( x , r ) × ( t − r 2 , t ] C(x,t;r)=B(x,r)\times(t-r^2,t] C ( x , t ; r ) = B ( x , r ) × ( t − r 2 , t ] 表示抛物柱。若 u u u C ( x , t ; r ) C(x,t;r) C ( x , t ; r )
max C ( x , t ; r / 2 ) ∣ D x k D t l u ∣ ≤ C k l r 2 l + k + n + 2 ∥ u ∥ L 1 ( C ( x , t ; r ) ) . \max_{C(x,t;r/2)}|D_x^kD_t^l u|
\le
\frac{C_{kl}}{r^{2l+k+n+2}}
\|u\|_{L^1(C(x,t;r))}. C ( x , t ; r /2 ) max ∣ D x k D t l u ∣ ≤ r 2 l + k + n + 2 C k l ∥ u ∥ L 1 ( C ( x , t ; r )) . 这里时间导数按二阶空间导数计数，所以指数中出现 2 l + k 2l+k 2 l + k
使用这类估计时要检查几何包含关系：抛物柱 C ( x , t ; r ) C(x,t;r) C ( x , t ; r )
学习注释
椭圆估计中的尺度是 r − k r^{-k} r − k r − ( 2 l + k ) r^{-(2l+k)} r − ( 2 l + k ) t ∼ r 2 t\sim r^2 t ∼ r 2
2.3.4 Energy methods# 能量方法也能证明热方程的唯一性。考虑齐次差 w w w
{ w t − Δ w = 0 in U T , w = 0 on Γ T . \begin{cases}
w_t-\Delta w=0 & \text{in }U_T,\\
w=0 & \text{on }\Gamma_T.
\end{cases} { w t − Δ w = 0 w = 0 in U T , on Γ T . 定义
e ( t ) = ∫ U w ( x , t ) 2 d x . e(t)=\int_U w(x,t)^2\,dx. e ( t ) = ∫ U w ( x , t ) 2 d x . 则
e ′ ( t ) = 2 ∫ U w w t d x = 2 ∫ U w Δ w d x = − 2 ∫ U ∣ D w ∣ 2 d x ≤ 0. \begin{aligned}
e'(t)
&=2\int_U w w_t\,dx\\
&=2\int_U w\Delta w\,dx\\
&=-2\int_U |Dw|^2\,dx\\
&\le 0.
\end{aligned} e ′ ( t ) = 2 ∫ U w w t d x = 2 ∫ U w Δ w d x = − 2 ∫ U ∣ D w ∣ 2 d x ≤ 0. 由于 e ( 0 ) = 0 e(0)=0 e ( 0 ) = 0 e ( t ) ≥ 0 e(t)\ge 0 e ( t ) ≥ 0 e ( t ) ≡ 0 e(t)\equiv 0 e ( t ) ≡ 0 w ≡ 0 w\equiv 0 w ≡ 0
本节还讨论了反向唯一性：若两个热方程解在最终时刻和侧边界相同，在适当条件下也可推出它们在更早时刻相同。证明不再是简单的最大值原理，而需要能量的对数凸性或相关估计。
本节要点
热方程的能量会耗散：
e ′ ( t ) = − 2 ∫ U ∣ D w ∣ 2 d x ≤ 0. e'(t)=-2\int_U |Dw|^2\,dx\le 0. e ′ ( t ) = − 2 ∫ U ∣ D w ∣ 2 d x ≤ 0. 这和波方程的能量守恒正好相对。
2.4 Wave Equation# 波方程为
u t t − Δ u = 0. u_{tt}-\Delta u=0. u tt − Δ u = 0. 常记
□ u = u t t − Δ u . \Box u=u_{tt}-\Delta u. □ u = u tt − Δ u . 它描述振动和信号传播。与热方程不同，波方程有有限传播速度，并且不会自动平滑初始数据。
初值问题为
{ u t t − Δ u = 0 in R n × ( 0 , ∞ ) , u = g , u t = h on R n × { t = 0 } . \begin{cases}
u_{tt}-\Delta u=0 & \text{in }\mathbb{R}^n\times(0,\infty),\\
u=g,\quad u_t=h & \text{on }\mathbb{R}^n\times\{t=0\}.
\end{cases} { u tt − Δ u = 0 u = g , u t = h in R n × ( 0 , ∞ ) , on R n × { t = 0 } . 其中 g g g h h h
本节的显式公式属于经典解层面，通常需要 g , h g,h g , h
2.4.1 Solution by spherical means# 在 n = 1 n=1 n = 1
u t t − u x x = 0. u_{tt}-u_{xx}=0. u tt − u xx = 0. 其初值问题解为
u ( x , t ) = 1 2 [ g ( x + t ) + g ( x − t ) ] + 1 2 ∫ x − t x + t h ( y ) d y . u(x,t)
=\frac12[g(x+t)+g(x-t)]
+\frac12\int_{x-t}^{x+t}h(y)\,dy. u ( x , t ) = 2 1 [ g ( x + t ) + g ( x − t )] + 2 1 ∫ x − t x + t h ( y ) d y . 这就是 d’Alembert 公式。
齐次波方程的一般解可写为
u ( x , t ) = F ( x + t ) + G ( x − t ) . u(x,t)=F(x+t)+G(x-t). u ( x , t ) = F ( x + t ) + G ( x − t ) . 也就是说，一维波由向左和向右传播的波叠加而成。
学习注释
d’Alembert 公式直接体现有限传播速度：点 ( x , t ) (x,t) ( x , t ) [ x − t , x + t ] [x-t,x+t] [ x − t , x + t ] 1 1 1
Spherical means# 高维波方程用球面平均处理。对函数 u u u
U ( x ; r , t ) = 1 ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ ∫ ∂ B ( x , r ) u ( y , t ) d S ( y ) . U(x;r,t)=\frac{1}{|\partial B(x,r)|}
\int_{\partial B(x,r)}u(y,t)\,dS(y). U ( x ; r , t ) = ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , r ) u ( y , t ) d S ( y ) . 相应地，令
G ( x ; r ) = 1 ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ ∫ ∂ B ( x , r ) g ( y ) d S ( y ) , G(x;r)=\frac{1}{|\partial B(x,r)|}
\int_{\partial B(x,r)}g(y)\,dS(y), G ( x ; r ) = ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , r ) g ( y ) d S ( y ) , H ( x ; r ) = 1 ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ ∫ ∂ B ( x , r ) h ( y ) d S ( y ) . H(x;r)=\frac{1}{|\partial B(x,r)|}
\int_{\partial B(x,r)}h(y)\,dS(y). H ( x ; r ) = ∣ ∂ B ( x , r ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , r ) h ( y ) d S ( y ) . 球面平均 U U U
U t t − U r r − n − 1 r U r = 0. U_{tt}-U_{rr}-\frac{n-1}{r}U_r=0. U tt − U rr − r n − 1 U r = 0. 这把高维波方程转化为关于半径 r r r t t t
在 r = 0 r=0 r = 0 U ( x ; 0 , t ) = u ( x , t ) U(x;0,t)=u(x,t) U ( x ; 0 , t ) = u ( x , t ) U r ( x ; 0 , t ) = 0 U_r(x;0,t)=0 U r ( x ; 0 , t ) = 0
当 n = 3 n=3 n = 3
u ( x , t ) = ∂ ∂ t ( t 1 ∣ ∂ B ( x , t ) ∣ ∫ ∂ B ( x , t ) g ( y ) d S ( y ) ) + t 1 ∣ ∂ B ( x , t ) ∣ ∫ ∂ B ( x , t ) h ( y ) d S ( y ) . u(x,t)
=\frac{\partial}{\partial t}
\left(t\,\frac{1}{|\partial B(x,t)|}
\int_{\partial B(x,t)}g(y)\,dS(y)\right)
+t\,\frac{1}{|\partial B(x,t)|}
\int_{\partial B(x,t)}h(y)\,dS(y). u ( x , t ) = ∂ t ∂ ( t ∣ ∂ B ( x , t ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , t ) g ( y ) d S ( y ) ) + t ∣ ∂ B ( x , t ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , t ) h ( y ) d S ( y ) . 等价地，可写成
u ( x , t ) = 1 ∣ ∂ B ( x , t ) ∣ ∫ ∂ B ( x , t ) [ t h ( y ) + g ( y ) + D g ( y ) ⋅ ( y − x ) ] d S ( y ) . u(x,t)
=\frac{1}{|\partial B(x,t)|}
\int_{\partial B(x,t)}
\left[t h(y)+g(y)+Dg(y)\cdot(y-x)\right]\,dS(y). u ( x , t ) = ∣ ∂ B ( x , t ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , t ) [ t h ( y ) + g ( y ) + D g ( y ) ⋅ ( y − x ) ] d S ( y ) . 三维公式只涉及球面 ∂ B ( x , t ) \partial B(x,t) ∂ B ( x , t )
当 n = 2 n=2 n = 2
u ( x , t ) = 1 2 1 ∣ B ( x , t ) ∣ ∫ B ( x , t ) t g ( y ) + t 2 h ( y ) + t D g ( y ) ⋅ ( y − x ) t 2 − ∣ y − x ∣ 2 d y . u(x,t)
=\frac12\frac{1}{|B(x,t)|}
\int_{B(x,t)}
\frac{t g(y)+t^2 h(y)+tDg(y)\cdot(y-x)}
{\sqrt{t^2-|y-x|^2}}\,dy. u ( x , t ) = 2 1 ∣ B ( x , t ) ∣ 1 ∫ B ( x , t ) t 2 − ∣ y − x ∣ 2 t g ( y ) + t 2 h ( y ) + t D g ( y ) ⋅ ( y − x ) d y . 与三维不同，二维情形点 ( x , t ) (x,t) ( x , t ) B ( x , t ) B(x,t) B ( x , t )
Odd and even dimensions# 更一般地，奇数维和偶数维的公式结构不同。
奇数维 n ≥ 3 n\ge 3 n ≥ 3
1 t ∂ ∂ t \frac{1}{t}\frac{\partial}{\partial t} t 1 ∂ t ∂ 反复作用得到，常数中出现
γ n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( n − 2 ) . \gamma_n=1\cdot 3\cdot 5\cdots(n-2). γ n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( n − 2 ) . 偶数维 n ≥ 2 n\ge 2 n ≥ 2
γ n = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ n . \gamma_n=2\cdot 4\cdot 6\cdots n. γ n = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ n . 重要结论是：
奇数维 n ≥ 3 n\ge 3 n ≥ 3 ∂ B ( x , t ) \partial B(x,t) ∂ B ( x , t )
偶数维：解公式涉及球内部 B ( x , t ) B(x,t) B ( x , t )
这就是 Huygens 原理在本章中的表现。
学习注释
维数奇偶差异是波方程中非常重要的现象。三维空间中，理想点源波前过去后局部会安静下来；二维情形中，扰动会在光锥内部产生持续影响。
2.4.2 Nonhomogeneous problem# 非齐次波方程为
{ u t t − Δ u = f in R n × ( 0 , ∞ ) , u = 0 , u t = 0 on R n × { t = 0 } . \begin{cases}
u_{tt}-\Delta u=f & \text{in }\mathbb{R}^n\times(0,\infty),\\
u=0,\quad u_t=0 & \text{on }\mathbb{R}^n\times\{t=0\}.
\end{cases} { u tt − Δ u = f u = 0 , u t = 0 in R n × ( 0 , ∞ ) , on R n × { t = 0 } . Duhamel 原理将非齐次问题化为一族齐次问题。对每个 s s s u ( ⋅ , ⋅ ; s ) u(\cdot,\cdot;s) u ( ⋅ , ⋅ ; s )
{ u t t − Δ u = 0 t > s , u = 0 , u t = f ( ⋅ , s ) t = s . \begin{cases}
u_{tt}-\Delta u=0 & t>s,\\
u=0,\quad u_t=f(\cdot,s) & t=s.
\end{cases} { u tt − Δ u = 0 u = 0 , u t = f ( ⋅ , s ) t > s , t = s . 则原问题解为
u ( x , t ) = ∫ 0 t u ( x , t ; s ) d s . u(x,t)=\int_0^t u(x,t;s)\,ds. u ( x , t ) = ∫ 0 t u ( x , t ; s ) d s . 在一维中，这给出
u ( x , t ) = 1 2 ∫ 0 t ∫ x − s x + s f ( y , t − s ) d y d s . u(x,t)=\frac12\int_0^t\int_{x-s}^{x+s}f(y,t-s)\,dy\,ds. u ( x , t ) = 2 1 ∫ 0 t ∫ x − s x + s f ( y , t − s ) d y d s . 等价地，把积分变量换回源项发生的时间，也可写成
u ( x , t ) = 1 2 ∫ 0 t ∫ x − ( t − s ) x + ( t − s ) f ( y , s ) d y d s . u(x,t)=\frac12\int_0^t
\int_{x-(t-s)}^{x+(t-s)}f(y,s)\,dy\,ds. u ( x , t ) = 2 1 ∫ 0 t ∫ x − ( t − s ) x + ( t − s ) f ( y , s ) d y d s . 在三维中，可得到 retarded potential：
u ( x , t ) = 1 4 π ∫ B ( x , t ) f ( y , t − ∣ y − x ∣ ) ∣ y − x ∣ d y . u(x,t)=\frac{1}{4\pi}
\int_{B(x,t)}
\frac{f(y,t-|y-x|)}{|y-x|}\,dy. u ( x , t ) = 4 π 1 ∫ B ( x , t ) ∣ y − x ∣ f ( y , t − ∣ y − x ∣ ) d y . 这个公式说明，三维非齐次波方程在 ( x , t ) (x,t) ( x , t ) t − ∣ y − x ∣ t-|y-x| t − ∣ y − x ∣ ( y , t − ∣ y − x ∣ ) (y,t-|y-x|) ( y , t − ∣ y − x ∣ ) 1 1 1 ( x , t ) (x,t) ( x , t )
学习注释
Duhamel 原理的统一理解是：源项 f ( ⋅ , s ) f(\cdot,s) f ( ⋅ , s ) s s s t t t s s s
2.4.3 Energy methods# 波方程的能量方法体现守恒律。设 w w w
E ( t ) = 1 2 ∫ U ( w t 2 + ∣ D w ∣ 2 ) d x . E(t)=\frac12\int_U\left(w_t^2+|Dw|^2\right)\,dx. E ( t ) = 2 1 ∫ U ( w t 2 + ∣ D w ∣ 2 ) d x . 则
E ′ ( t ) = ∫ U w t w t t d x + ∫ U D w ⋅ D w t d x = ∫ U w t Δ w d x + ∫ U D w ⋅ D w t d x = 0 , \begin{aligned}
E'(t)
&=\int_U w_t w_{tt}\,dx+\int_U Dw\cdot Dw_t\,dx\\
&=\int_U w_t\Delta w\,dx+\int_U Dw\cdot Dw_t\,dx\\
&=0,
\end{aligned} E ′ ( t ) = ∫ U w t w tt d x + ∫ U D w ⋅ D w t d x = ∫ U w t Δ w d x + ∫ U D w ⋅ D w t d x = 0 , 其中最后一步使用分部积分和边界条件。因此
E ( t ) = E ( 0 ) . E(t)=E(0). E ( t ) = E ( 0 ) . 如果初始数据相同，则差的初始能量为 0 0 0 0 0 0
Cone of dependence# 波方程还具有有限传播速度。给定点 ( x 0 , t 0 ) (x_0,t_0) ( x 0 , t 0 )
K ( x 0 , t 0 ) = { ( x , t ) : 0 ≤ t ≤ t 0 , ∣ x − x 0 ∣ ≤ t 0 − t } . K(x_0,t_0)
=\{(x,t):0\le t\le t_0,\ |x-x_0|\le t_0-t\}. K ( x 0 , t 0 ) = {( x , t ) : 0 ≤ t ≤ t 0 , ∣ x − x 0 ∣ ≤ t 0 − t } . 若初始位移 g g g h h h B ( x 0 , t 0 ) B(x_0,t_0) B ( x 0 , t 0 ) K ( x 0 , t 0 ) K(x_0,t_0) K ( x 0 , t 0 )
证明思路是对截断光锥内的局部能量求导，得到局部能量随时间单调不增。若初始局部能量为零，则光锥内部能量一直为零。
本节要点
热方程的能量耗散，波方程的能量守恒；热方程有无限传播，波方程有有限传播。两者都带时间变量，但数学性质完全不同。
2.5 Problems# 本节习题覆盖第 2 章的主要技术点。下面按题号整理主题，后续可以继续扩展为逐题题解。
题号 主题 建议关注点 1 带零阶项的输运方程 沿特征线得到一阶线性 ODE，注意指数因子 2 Laplace 方程的旋转不变性 计算正交变换下的二阶导数 3 Poisson 球公式的推导 从平均值公式和 Green 表示理解球内 Dirichlet 问题 4 最大值原理的直接证明 对 u + ε ∣ x ∣ 2 u+\varepsilon \lvert x\rvert^2 u + ε ∣ x ∣ 2 5 次调和函数 比较平均值性质、最大值原理和 Δ u ≥ 0 \Delta u\ge 0 Δ u ≥ 0 6 Poisson 公式的最大估计 用 Poisson 核正性和归一性 7 Harnack 不等式 由 Poisson 核上下界推出球内版本 8 球上 Poisson 公式证明 重点检查核的边界逼近性质 9 半空间 Poisson 公式例子 观察边界附近梯度可能无界 10 反射原理 边界为零时做奇反射，Neumann 情形常做偶反射 11 Kelvin 变换 研究调和函数在反演下的变换规律 12 热方程缩放 验证 x ∼ r , t ∼ r 2 x\sim r,\ t\sim r^2 x ∼ r , t ∼ r 2 13 自相似热解 推出一维热核的 Gaussian 形式 14 带反应项的热方程 对 u t − Δ u + c u = f u_t-\Delta u+cu=f u t − Δ u + c u = f 15 半直线热方程边界输入 通过奇反射和热核构造公式 16 热方程最大值原理直接证明 加入小扰动让最大值不能出现在内部 17 热方程次解 抛物型版本的比较原理 18 Stokes 规则与波方程 用积分恒等式处理波方程公式 19 d’Alembert 公式重推 变量 ξ = x + t , η = x − t \xi=x+t,\ \eta=x-t ξ = x + t , η = x − t 20 径向波的衰减和延迟 只有特定维数允许简单无失真传播形式 21 Maxwell 与弹性方程 从物理系统推出波方程 22 Telegraph equation 两状态输运模型导出阻尼波型方程 23 方形区域上的波源 分析一维波在给定时间后的形状 24 一维波的能量均分 长时间平均下动能和势能的关系
学习注释
这组习题不是单纯计算。第 1、12、19 题训练“换变量和特征”；第 4、5、16、17 题训练最大值原理；第 6、7、8、9、10、11 题围绕 Poisson 核和调和函数；第 18 到 24 题帮助把波方程公式、能量和物理模型连起来。
2.6 References# Evans 在本章参考文献中按主题给出进一步阅读：
Laplace 方程可参考 Gilbarg-Trudinger、Mikhailov、J. Cooper 等资料。
热方程可参考 John、Friedman、Watson、Payne、Mikhailov 等资料。
波方程可参考 Antman、Folland、Strauss 等资料。
第 24 题的能量均分问题来自 J. Goldstein 的贡献。
对初学者来说，读完本章后可以先不急着扩展参考文献，而是回到四类模型方程，确认自己能说清楚每个公式背后的机制。
3. 本章核心对比# 3.1 表示公式对比# 输运方程：
u ( x , t ) = g ( x − t b ) + ∫ 0 t f ( x + ( s − t ) b , s ) d s . u(x,t)=g(x-tb)+\int_0^t f(x+(s-t)b,s)\,ds. u ( x , t ) = g ( x − t b ) + ∫ 0 t f ( x + ( s − t ) b , s ) d s . Poisson 方程：
u ( x ) = ∫ R n Φ ( x − y ) f ( y ) d y . u(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy. u ( x ) = ∫ R n Φ ( x − y ) f ( y ) d y . 热方程：
u ( x , t ) = ∫ R n Φ ( x − y , t ) g ( y ) d y + ∫ 0 t ∫ R n Φ ( x − y , t − s ) f ( y , s ) d y d s . u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t)g(y)\,dy
+\int_0^t\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t-s)f(y,s)\,dy\,ds. u ( x , t ) = ∫ R n Φ ( x − y , t ) g ( y ) d y + ∫ 0 t ∫ R n Φ ( x − y , t − s ) f ( y , s ) d y d s . 一维波方程：
u ( x , t ) = 1 2 [ g ( x + t ) + g ( x − t ) ] + 1 2 ∫ x − t x + t h ( y ) d y . u(x,t)
=\frac12[g(x+t)+g(x-t)]
+\frac12\int_{x-t}^{x+t}h(y)\,dy. u ( x , t ) = 2 1 [ g ( x + t ) + g ( x − t )] + 2 1 ∫ x − t x + t h ( y ) d y . 三维波方程：
u ( x , t ) = 1 ∣ ∂ B ( x , t ) ∣ ∫ ∂ B ( x , t ) [ t h ( y ) + g ( y ) + D g ( y ) ⋅ ( y − x ) ] d S ( y ) . u(x,t)
=\frac{1}{|\partial B(x,t)|}
\int_{\partial B(x,t)}
\left[t h(y)+g(y)+Dg(y)\cdot(y-x)\right]\,dS(y). u ( x , t ) = ∣ ∂ B ( x , t ) ∣ 1 ∫ ∂ B ( x , t ) [ t h ( y ) + g ( y ) + D g ( y ) ⋅ ( y − x ) ] d S ( y ) . 3.2 定性性质对比#
性质 Laplace Heat Wave Transport 最大值原理 有 有，抛物边界版本 一般无 一般无 能量行为 Dirichlet 能量极小 能量耗散 能量守恒 沿特征传递 传播速度 静态问题 无限传播 有限传播 沿速度场传播 平滑效应 内部解析 正时间瞬时光滑 不自动平滑 不自动平滑 典型几何 球和边界 抛物柱、heat ball 光锥、球面 特征线
3.3 方法对比#
方法 在本章中的作用 特征线 解输运方程，理解一阶 PDE 基本解 把线性 PDE 转成卷积或积分表示 平均值公式 推出调和函数和热方程解的定性性质 最大值原理 证明唯一性和比较原理 Green 函数 把边界条件纳入积分表示 能量方法 证明唯一性、守恒、耗散和有限传播 Duhamel 原理 把非齐次演化方程化为齐次问题叠加
4. 阅读建议# 读第 2 章时，可以按以下顺序消化：
先掌握四个显式公式：输运公式、Newton potential、热核公式、d’Alembert 或 Kirchhoff 公式。
再比较三类原则：最大值原理、能量方法、传播机制。
最后做习题时，把每道题归入某个方法，而不是孤立计算。
最容易混淆的点有三个：
Laplace 的平均值公式和热方程的平均值公式不是同一个几何对象 。前者是球或球面，后者是 heat ball。热方程和波方程都有 Duhamel 原理，但传播核不同 。热方程用热核向未来扩散，波方程用齐次波传播沿光锥传递。最大值原理不是所有 PDE 都有 。椭圆型和抛物型方程中它非常强，波方程主要依靠能量和光锥。 第 2 章的价值在于建立一套“模型方程词典”。后续学习弱解、Sobolev 空间、二阶椭圆方程和非线性方程时，本章的公式和直觉会反复作为参照。
