Goblinunde

3.1 PDE 不应局限于两个自变量#

Evans 反对把 PDE 主要写成两个变量的函数问题，例如只讨论 $u(x,y)$ 或 $u(x,t)$。这种写法虽然适合入门，但会误导读者，因为现代 PDE 理论中的许多线性和非线性方程都可以在任意维数中严格处理。

他也不太赞成过度依赖“分类”来理解 PDE。二元情形中的分类确实有用，但容易让人误以为一般 PDE 存在一种统一、普遍、总是有效的分类图景。

3.2 非线性方程非常重要#

作者的判断是：整体而言，人们对线性 PDE 知道得很多，而对非线性 PDE 知道得太少。因此本书很早就引入非线性概念，并尽量在各处强调线性理论的非线性对应物。

这也是本书区别于只围绕 Laplace 方程、热方程、波方程展开的入门教材之处。它的目标并不只是会算几个经典公式，而是进入现代 PDE 的思维方式。

3.3 广义解或弱解是核心#

许多 PDE，特别是非线性一阶方程，一般不存在光滑解。因此必须建立合适的广义解或弱解概念。

这件事重要但微妙。书中很多困难内容都与适当定义的弱解的唯一性有关。也就是说，放宽“解”的光滑性要求只是第一步，真正的难点在于证明这个较弱意义下的解仍然是数学上合理的。

3.4 PDE 不只是泛函分析的分支#

某些 PDE 可以被看成 Banach 空间之间的抽象算子问题，这当然很有用。但 Evans 明确反对过度抽象化：如果只强调抽象泛函分析，而忽视微积分估计和测度论估计，就会限制对 PDE 的理解。

这句话很能概括本书风格：它会使用泛函分析，但不会把 PDE 简化成纯粹的算子理论。

3.5 记号是一件麻烦事#

作者承认 PDE 记号很难统一。他试图建立一套能覆盖本书主要方程类型的统一记号，但这有时会和某些子领域的惯例冲突。

阅读时尤其需要熟悉附录 A 中的记号，特别是多重指标记号。

3.6 好理论几乎和显式公式一样有用#

这条原则决定了全书结构。全书分为三大部分，并大致模仿 PDE 理论的历史发展：

• 第一部分：寻找解的显式公式；
• 第二部分：放弃普遍显式公式，建立线性 PDE 的一般存在性和性质理论；
• 第三部分：面向重要非线性 PDE 建立现代一般理论。

3.7 阅读方式提醒#

作者强调，每一节内部都尽量做到严格和完整，但这并不意味着内容总是从易到难排列。书中早期就会出现困难证明和复杂计算，后面也会有相对容易的思想。第一次阅读时，可以跳过一些较偏、较难的证明。

作者还明确说明：这是一本教材，不是参考书。它更重视在相对简单的背景下解释基本思想，而不是给出每个定理最尖锐、最一般的版本。更精确和更一般的结果可以到研究论文和高级专著中查找。

第一版前言还感谢了许多同事、学生和读者的建议。其中 Tai-Ping Liu 曾为现在的第 11 章写出早期草稿。作者也感谢了参与讲义录入和更新的工作人员，并说明写作期间获得 NSF 支持。

前置部分#

Chapter 1. Introduction#

Part I. Representation Formulas for Solutions#

第一部分标题可译为“解的表示公式”。这一部分关注能够显式或半显式写出解的 PDE。

Part II. Theory for Linear Partial Differential Equations#

第二部分标题可译为“线性偏微分方程理论”。这一部分从显式公式转向弱解、能量估计、存在性、唯一性和正则性。

Part III. Theory for Nonlinear Partial Differential Equations#

第三部分标题可译为“非线性偏微分方程理论”。这一部分不再有统一套路，而是按不同非线性结构分别处理。

Appendices#